уравнения для полей

139.01 Kb.Название Дата конвертации01.12.2012Размер139.01 Kb.Тип Содержание Китаев А.Е. Уравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения.1. Общее уравнение для электронно-позитронных и электромагнитных волн.В предыдущих работах я рассматривал некоторое обобщение волнового уравнения. Обобщение заключается в том, что к четырехмерному пространству-времени добавлена группа SO(3), параметризованная через углы Эйлера (или, другими словами, многообразие группы SO(3)), и волновое уравнение является уравнением в 7-мерном пространстве. Это уравнение есть фактически результат квантования свободного движения симметричного твердого тела (шарового волчка). Причем предполагается, что помимо обычных граничных условий в «угловом» пространстве могут иметь место более общие условия: Или в случае действительной функции U. Это позволяет уравнению иметь решения, пропорциональные следующим функциям (представленным в виде вектора-столбца): Уточню, что каждая из этих четырех функций является решением «угловой» части приведенного выше уравнения. Такие функции-орты названы функциями половинного спина (обратим внимание на множитель m в показателях экспонент). Возможна и пропорциональность функциям единичного спина Помимо единичного и половинного спинов возможны и другие значения 3/2, 2, а также 0, что соответствует отсутствию зависимости от углов (углов Эйлера). Но мы ограничились лишь рассмотрением случаев m,1. Заметим, что четырехмерное пространство-время и трехмерное искривленное пространство группы SO(3) нельзя считать полностью независимыми друг от друга. Повороту в обычном трехмерном пространстве будет соответствовать определенное преобразование координат в пространстве SO(3). Некоторым поворотам будет соответствовать просто «сдвиг» угловой координаты в SO(3): Обратим внимание, что в вышеприведенном уравнении мы ввели дисперсионный (массовый) член, пропорциональный k02. В работе «Некоторые выкладки, касающиеся лагранжиана для распределенных систем» мы писали соответствующее уравнение без этого члена, хотя и оговаривали возможность его появления. Если рассматривать функции, зависящие от углов и входящие в записанные выше векторы-столбцы как орты, то можно «разложить» уравнение по этим ортам и получить систему таких уравнений для «координат» в пространстве этих функций-ортов, зависящих лишь от x,y,z и t: Это для функций половинного спина (то-есть для «координат» при разложении функции U по ортам половинного спина). Приведенные в этих выражениях общие множители появились при выводе уравнений с помощью функции Лагранжа (их, естественно, можно опустить). Для единичного же спина соответствующие уравнения: Коэффициенты k02 и q можно подобрать таким образом, чтобы волны с единичным спином распространялись без дисперсии (имели нулевую массу покоя), а волны с половинным спином имели дисперсию, соответствующую массе покоя электрона. Заметим, что 2=1(1+1), а n=1/2(1+1/2), то-есть это частные случаи формулы l(l+1). Здесь l спин частицы. Формула для массы частицы с произвольным спином получается такой: Заметим, что для спинов, больших единицы, масса получается комплексной. Это согласуется с тем фактом, что почти нет элементарных частиц со спином, большим единицы. Лептонов таких вообще нет. Гравитон со спином 2 на данный момент не обнаружен. Среди адронов есть случаи частиц со спином 3/2, но там, по-видимому, имеются дополнительные внутренние степени свободы, и ситуация сложнее. Однако я отдаю себе отчет, что при введении в уравнение кубической нелинейности возникнет самовоздействие волн. Тогда существующие моды «общего» поля возможно будут лишь малыми возмущениями на фоне большого по амплитуде нелинейного решения. В этом случае дисперсионный член линеаризованного уравнения для этих возмущений будет зависеть (в общем случае) от амплитуды большого «фонового» решения. С кубичной нелинейностью возможно связано слабое взаимодействие, ведь в нем принимают участие четыре (3+1) волны, например протон, позитрон, нейтрон и нейтрино. В рассмотрение кубичной нелинейности мы пока не вдавались, была затронута в предыдущих работах лишь квадратичная нелинейность. Из теории нелинейных колебаний и волн известно, что ей соответствует трехволновое взаимодействие. В нашем случае это две волны половинного спина и одна единичного. Естественно попытаться их интерпретировать как электронное, позитронное и фотонное поле. Запишем исходное уравнение с нелинейной добавкой второго порядка (квадратичной): Почему тройка? Это уравнение получено с использованием лагранжиана, куда U входит в третьей степени (и тройка появилась при дифференцировании). Приведем теперь уравнения для его «проекций» на функции-орты половинного спина: Здесь для меньшей громоздкости обозначено Аналогичные уравнения для полей единичного спина: Эти уравнения можно рассматривать и как первичные, то-есть не получать их из уравнения для обобщенного поля U. Важно, насколько они соответствуют физической действительности. Правда, тогда «затуманивается» достаточно прозрачный смысл спина как квантового вращения. Вместо введенных нами полей единичного спина u и w можно ввести четырехвектор A с помощью формул Уравнения для волн с половинным спином в пределе коротких волн и малости переменных коэффициентов (в качестве которых фигурируют поля единичного спина) удается свести к уравнению, близкому к уравнению Дирака: или (с применением операторного вида компонент поля) где , E единичная матрица 4 на 4, i- матрицы Дирака (i изменяется от 0 до 3). Полному совпадению с уравнением Дирака мешает матрица 0 , умноженная на пространственные компоненты четырехвектора A. Домножим уравнение на (и уберем знак единичной матрицы E, пусть она будет обозначаться простой единицей): Приравнивая коэффициенты так, чтобы это уравнение было по возможности более близким к уравнению Дирака, мы получим выражение для : Итак, наша гипотеза заключается в том, что взаимодействие фотонов и электронов (проявлением кот

Уравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения

Уравнение, описывающее и электронное, и фотонное поле, а также некоторые обобщения